เทคนิคการหาตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.)

 

1. ตัวประกอบ     หมายถึง  จำนวนนับที่สามารถหารจำนวนนับได้ลงตัว  เช่น
           ตัวประกอบของ 3 คือ  1 และ 3
           ตัวประกอบของ 15 คือ 1, 3, 5 และ 15
           

การบวกลบเศษส่วน

การบวกลบเศษส่วน

ตัวประกอบ และ จำนวนเฉพาะ

 

ในคณิตศาสตร์ จำนวนเฉพาะ (อังกฤษ : prime number) คือ จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง ตรงข้ามกับจำนวนประกอบ
ลำดับของจำนวนเฉพาะเริ่มต้นด้วย

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113...

วงกลมหนึ่งหน่วย

วงกลม 1 หน่วย คือวงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ (0,0) และรัศมียาว 1 หน่วย

มีสมการเป็น x2 + y2 = 1 และมีรูปดังนี้

ที่มาภาพ  - http://library.thinkquest.org/20991/media/alg2_radians.gif

จากสูตรความยาวเส้นรอบวง    =     2¶r

รัศมีวงกลมยาว 1 หน่วย  ย่อมหาความยาวเส้นรอบวงได้ เ

ส้นรอบวงยาว  =  2¶ (1)  =  2¶  หน่วย

 

พื้นที่ผิวและปริมาตร

เส้นขนาน ป.6

เส้นขนานและมุมภายใน

นิยาม เส้นตรงสองเส้นที่บนระนาบเดียวกันขนานกันเมื่อเส้นทั้งสองนี้ไม่ตัดกัน

หลักการง่ายที่ใช้พิจารณาว่าเส้นตรงสองเส้นขนานกันหรือไม่

ความเท่ากันทุกประการ

นิยามของความเท่ากันทุกประการ
     1. รูปสองรูปเท่ากันทุกประการเมื่อรูปหนึ่งทับอีกรูปหนึ่งได้สนิทพอดี
     2. ส่วนของเส้นตรงสองเส้นจะเท่ากันทุกประการ เมื่อส่วนของเส้นตรงนั้นยาวเท่ากัน
     3. มุมสองมุมจะเท่ากันทุกประการ เมื่อมุมทั้งสองมุมมีขนาดเท่ากัน
 ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
 นิยาม รูปสามเหลี่ยม ABC คือ รูปที่ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงสามเส้น , และ เชื่อมต่อจุด A,B และ C  ว่าจุดยอดมุมของรูปสามเหลี่ยม ABC
 รูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการเมื่อด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ
 ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในรูปแบบต่างๆ
     1. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบด้าน-มุม-ด้าน(ด.ม.ด.)
 นิยาม ถ้ารูสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีด้านยาวเท่ากันสองคู่และขนาดของมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากัน  เท่ากันแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ
     2. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบมุม-ด้าน-มุม(ม.ด.ม.)
 นิยาม ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่  และด้านซึ่งเป็นแขนร่วมของมุมทั้งสองที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันด้วยแล้ว  รูปสามเหลี่ยมสองนั้นจะเท่ากันทุกประการ
     3. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบด้าน-ด้าน-ด้าน(ด.ด.ด.)
 นิยาม ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีด้านยาวเท่ากันสามคู่แล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นจะเท่ากันทุกประการ

ลิงค์ดาวโหลดเอกสารฟรีได้ที่ ติวเตอร์ดีดี Library คลิก!

 

ติวเตอร์ดีดี แอทโฮม รับสอนพิเศษตามบ้าน ทุกวิชา ทุกระดับ ชั้น

<<ต้องการเรียนพิเศษ คลิก!>>

>>ติดตาม ข่าวสาร การศึกษา รับตรงโค้วต้า ทุนการศึกษาต่อ ต่างประเทศ

>>Download เอกสาร การเรียน ด้านคณิตศาสตร์ ฟรี

>>Download เอกสาร การเรียน ด้านวิทยาศาสตร์ ฟรี

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ม.3

 

ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แสดงความสัมพันธ์ใน เรขาคณิตแบบยุคลิด ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก ทฤษฎีนี้ ถูกตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่พีทาโกรัส นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก แม้ว่าความจริงแล้ว ทฤษฎีได้มีการคิดค้นไว้ก่อนหน้าที่เขาจะมีชีวิตอยู่ โดยชาว อินเดีย, ชาวกรีก, ชาวจีน และ ชาวบาบิโลน

การพิสูจน์ทางเรขาคณิต

ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการให้เหตุผลทางเรขาคณิต

          การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ระบบคณิตศาสตร์ประกอบด้วยส่วนที่สำคัญอยู่ 4 ส่วนคือ อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และ ทฤษฎีบท

             1. อนิยาม(Undefinition) หมายถึง คำหรือข้อความที่มีการตกลงกันว่าไม่ต้องให้ความหมาย หรือคำจำกัดความ เพราะการอธิบายคำจำกัดความใดๆ ต้องอาศัยพื้นฐานบางคำมาอธิบาย และถ้าให้ความหมายของคำพื้นฐานนั้น ก็ต้องมีคำใหม่อธิบายเพิ่มขึ้น จึงอาจจำเป็นต้องวนกลับไปมาใช้คำเก่าวนเรื่อยๆไปมาเช่นกันซึ่งถ้าเรานิยามคำเหล่านั้นไปแล้วก็ไม่เกิดประโยชน์อะไรเลย เสียเวลาเปล่า เช่น นิยามที่ว่า “จุดเป็นสิ่งที่ไม่มีขนาด” นิยามนี้ไม่ได้ให้ความหมายอย่างแท้จริงเพราะเราไม่รู้ว่าขนาดคืออะไร แล้วถ้าเราจะให้ความหมายของขนาด คือ สิ่งที่บอกให้รู้ว่าใหญ่หรือเล็ก ต่อไปก็เกิดคำถามว่าใหญ่คืออะไร เล็กคืออะไร เราก็ตอบว่าใหญ่คือไม่เล็ก ส่วนเล็กก็คือไม่ใหญ่ จะเห็นได้ว่าอธิบายเสียยืดยาวเราก็ยังไม่เข้าใจคำว่า “จุด” อย่างแท้จริงเลย เราจึงให้จุดเป็นคำอนิยาม

สามเหลี่ยม ความคล้าย

 

 รูปสามเหลี่ยม เป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต คือรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมี 3 มุมหรือจุดยอด และมี 3 ด้านหรือขอบที่เป็นส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A, B, และ C เขียนแทนด้วย  ABC
ในเรขาคณิตแบบยุคลิด จุด 3 จุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน จะสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียว และเป็นรูปที่อยู่บนระนาบเดียว (เช่นระนาบสองมิติ)

ประเภทของรูปสามเหลี่ยม
แบ่งตามความยาวของด้าน

ตรรกศาสตร์ ม.4

 

ความหมายของศัพท์ตรรกศาสตร์
คำว่า “ตรรกศาสตร์” ได้มาจากศัพท์ภาษาสันสฤตสองศัพท์ คือ ตรฺรก และศาสตฺร ตรรก หมายถึง การตรึกตรอง ความคิด ความนึกคิด และคำว่า ศาสตฺร หมายถึง วิชา ตำรา รวมกันเข้าเป็น “ตรรกศาสตร์” หมายถึง วิชาว่าด้วยความนึกคิดอย่างเป็นระบบ ปราชญ์ทั่วไปจึงมีความเห็นร่วมกันว่า ตรรกศาสตร์ คือ วิชาว่าด้วย การใช้กฎเกณฑ์
การใช้เหตุผล
วิชาตรรกศาสตร์นั้นมีนักปราชญ์ทางตรรกศาสตร์ได้นิยามความหมายไว้มากมาย นักปราชญ์เหล่านั้น คือ
1.พจนานุกรมศัพท์ปรัชญาอังกฤษ – ไทย ฉบับราชบัณฑิตยสถาน นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ คือ ปรัชญาสาขาที่ว่าด้วยการวิเคราะห์และตัดสินความสมเหตุสมผลในการอ้างเหตุผล”
2.กีรติ บุญเจือ นิยามความหมายว่า “ตรรกวิทยา คือ วิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์การใช้เหตุผล”
3.”Wilfrid Hodges” นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ คือ การศึกษาระบบข้อเท็จจริงให้ตรงกับความเชื่อ”

คู่ลำดับผลคูณคาร์ทีเซียน

 

ผลคูณคาร์ทีเซียน(Cartesian  product)

                ให้  A  และ B   เป็นเซตสองเซตใด ๆ  ผลคูณคาร์ทีเซียนของ  A  และ  B   

เขียนแทนด้วย A×B (อ่านว่า A  ครอส B)  เป็นเซตของคู่อันดับทั้งหมดที่เป็นไปได้

โดยที่สมาชิกตัวแรกของคู่อันดับเป็นสมาชิกของ  A   และสมาชิกตัวหลังของคู่อับดับ

เป็นสมาชิกของ B

                        นั้นคือ  A×B = {(a , b) | a A , b  B }

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

 

ตรีโกณมิติ (Trigonometry) เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า Circular Function คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและ
ปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุด
บนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด

โดเมนและเรนจ์

 

ในเรื่องความสัมพันธ์  โดเมน (Domain; D) คือ สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ
ส่วน เรนจ์ (Range; R) คือ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ
ในตัวอย่าง r = {(x,y)  AxB | x หาร y ลงตัว}  เราได้ r = {(2,4), (2,10), (4,4), (5,10)}
ดังนั้น ส่วน
กล่าวได้ว่า ถ้ามีความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว  และ
การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ภายใน R ซึ่งโจทย์กำหนดมาในรูปแบบของสมการต่างๆ
ถ้าเป็นไปได้ ถ้าจะหาโดเมนควรจัดรูปสมการให้เป็น y=… ส่วนการหาเรนจ์ให้จัดรูปสมการเป็น x=… ก่อน แล้วจึงค่อยพิจารณานะคะ

เฉลยข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทย ระดับประถมปี พ.ศ.2547 ตอนที่1

 

1. กระทะไฟฟ้าราคา 399 บาท หม้อหุงข้าวไฟฟ้าราคา  เท่าของ  ราคากระทะไฟฟ้า ถ้าอรดีชื้อของทั้งสองอย่างในราคาผ่อนชำระ 3     เดือน เดือนละ 350 บาท อรดีจะเสียเงินเพิ่มขึ้นจากเดิมกี่บาท

       วิธีคิด               หม้อหุงข้าวราคา 4/3×399  =  532บาท

                                  ทั้งสองอย่างราคา 532+399   =  931 บาท

                ผ่อนชำระ       =    3×350     =  1050 บาท

                เสียเงินเพิ่ม         1050-931   = 119 บาท

โจทย์พร้อมเฉลย การแก้สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

โจทย์สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

มีวิธีแก้ปัญหาดังนี้

                1.  อ่านโจทย์ก่อน  แล้วพิจารณาว่าโจทย์ถามอะไร  ถ้ามีมากกว่า 1 คำถาม ให้กำหนด x, y หรือ z  เป็นคำตอบที่โจทย์ถาม  แต่ถ้ามีคำถามเดียวแต่ไม่อาจเข้าสมการตัวแปรเดียวได้  ก็อาจต้องกำหนดขึ้นอีก 1 ตัว เป็นจำนวนที่เกี่ยวข้องกับค่าอื่น ๆ  ในโจทย์  ซึ่งไม่อาจเขียนในรูปตัวแปรเดียวกับตัวแรกซึ่งเป็นคำถามของโจทย์ได้  ต้องใช้วิธีการของระบบสมการเชิงเส้นมากกว่า 1 ตัวแปร

2.             โจทย์มีกี่ช่วง  แต่ละช่วงเกี่ยวพันกันอย่างไร  มีช่วยใดเท่ากันบ้าง จะได้นำมาเข้าสมการ

3.             จะเป็นระบบสมการเชิงเส้นกี่ตัวแปรขึ้นอยู่กับข้อ 1 ถ้ามีตัวแปร 2 ตัว ต้องมี 2 สมการ ถ้ามี 3 แปร ต้องมี 3 สมการ

4.             การแก้ระบบสมการในข้อ 3 ทำตามการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่ผ่านมาแล้ว

นอกจากนี้ยังต้องมีความรู้ในเรื่องอื่น ๆ ด้วย ซึ่งโจทย์ปัญหามักเกี่ยวข้องกับตัวแปร  2 ตัวเช่น

ระบบสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร

 

ระบบสมการเชิงเส้น    คือ  สมการเชิงเส้นมากกว่า  1  สมการขึ้นไป  แต่ละสมการจะมีตัวแปรมากกว่า  1  ตัว  ถ้าตัวแปร  2  ตัวจะเรียกว่า  สมการเชิงเส้นสองตัวแปร  ซึ่งในระบบนี้จะมีสมการอย่างน้อย  2  สมการ  จึงจะหาค่าคำตอบของตัวแปรทั้งสองได้  เช่นเดียวกับสมการเชิงเส้น  3  ตัวแปร  ก็ต้องมีสมการอย่างน้อย  3  สมการ  จึงจะหาคำตอบของตัวแปรได้  โดยตัวแปรทุกตัวในสมการ  จะต้องอยู่ในรูปกำลังหนึ่ง  และอยู่ในรูปผลบวก  หรือผลต่างระหว่างตัวแปรเหล่านั้น

                1.   สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

                รูปแบบระบบสมการสองตัวแปร     คือ

                                a ₁  x  +  b ₁ y      =             c ₁           เมื่อ  a ₁  และ  b ₁  ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

                                a ₂  x  +  b2 y      =             c ₂           เมื่อ  a ₂  และ  b ₂  ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

                ส่วนระบบสมการเชิงเส้นมากกว่าสองตัวแปร  จะกล่าวถึงเล็กน้อยเท่านั้น

                                ในชั้นนี้จะศึกษาเกี่ยวกับการหาค่าตัวแปร   2   ตัวแปรจากระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร  ซึ่งถ้านำสมการทั้งสองมาเขียนกราฟเส้นตรง  และจุดที่กราฟทั้งสองตัดกัน  จะเป็นคำตอบของสมการนี้