การพิสูจน์ทางเรขาคณิต

ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการให้เหตุผลทางเรขาคณิต

การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ระบบคณิตศาสตร์ประกอบด้วยส่วนที่สำคัญอยู่ 4 ส่วนคือ อนิยาม นิยาม สัจพจน์ และ ทฤษฎีบท

1. อนิยาม(Undefinition) หมายถึง คำหรือข้อความที่มีการตกลงกันว่าไม่ต้องให้ความหมาย หรือคำจำกัดความ เพราะการอธิบายคำจำกัดความใดๆ ต้องอาศัยพื้นฐานบางคำมาอธิบาย และถ้าให้ความหมายของคำพื้นฐานนั้น ก็ต้องมีคำใหม่อธิบายเพิ่มขึ้น จึงอาจจำเป็นต้องวนกลับไปมาใช้คำเก่าวนเรื่อยๆไปมาเช่นกันซึ่งถ้าเรานิยามคำเหล่านั้นไปแล้วก็ไม่เกิดประโยชน์อะไรเลย เสียเวลาเปล่า เช่น นิยามที่ว่า “จุดเป็นสิ่งที่ไม่มีขนาด” นิยามนี้ไม่ได้ให้ความหมายอย่างแท้จริงเพราะเราไม่รู้ว่าขนาดคืออะไร แล้วถ้าเราจะให้ความหมายของขนาด คือ สิ่งที่บอกให้รู้ว่าใหญ่หรือเล็ก ต่อไปก็เกิดคำถามว่าใหญ่คืออะไร เล็กคืออะไร เราก็ตอบว่าใหญ่คือไม่เล็ก ส่วนเล็กก็คือไม่ใหญ่ จะเห็นได้ว่าอธิบายเสียยืดยาวเราก็ยังไม่เข้าใจคำว่า “จุด” อย่างแท้จริงเลย เราจึงให้จุดเป็นคำอนิยาม

2. บทนิยาม(Definition) หมายถึง คำหรือข้อความที่มีการให้ความหมายหรือคำจำกัดความไว้อย่างชัดเจนเพื่อทุกคนจะได้มีความเข้าใจตรงกัน โดยสามารถใช้คำอนิยามมาประกอบด้วยก็ได้เพื่อให้เกิดความหมายชัดเจน เช่น “พ่อ” และ “ลูก” เป็นคำอนิยาม เราก็อาจอธิบายได้ว่า

ปู่ คือ พ่อของพ่อ ยาย คือ แม่ของแม่

ทวด คือ พ่อของปู่ หลาน คือ ลูกของลูก เป็นต้น

จะเห็นว่าเราสามารถอธิบายความหมายของคำว่า ปู่ ยาย ทวด และหลานได้ เราจึงจัดคำเหล่านี้ว่าเป็น “คำนิยาม” และความหมายที่อธิบายความหมายของคำนิยาม เราเรียกว่า “นิยาม” นั่นเอง อนึ่งการนิยามที่ดีต้องระบุสมบัติที่เด่นชัดของสิ่งเหล่านั้น เป็นข้อความที่สั้นและรัดกุม ประหยัดคำ รวมถึงจะต้องวกกลับวลีในบทนิยามได้ โดยความหมายต้องไม่เปลี่ยนแปลง เช่น 1+1 = 2 ถ้าสลับที่แล้วจะได้ 2 = 1+1 ก็ถือว่าเป็นนิยามที่ดี หรือรูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันสองด้าน ถ้าสลับข้อความแล้วจะได้ รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันสองด้าน คือรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ก็ยังสามารถใช้เป็นนิยามได้ เพราะความหมายยังคงเดิม แต่หากนิยามว่า คนเป็นสัตว์มีกระดูกสันหลัง ถ้าสลับที่แล้วคือ สัตว์มีกระดูกสันหลังเป็นคน ความหมายจะเปลี่ยนไปจัดว่าเป็นข้อความที่เป็นเท็จ เพราะถ้าเป็นนิยาม เราก็คงสรุปว่า ปลา ลิง หรือเสือ ก็ต้องเป็นคน

3. ข้อตกลงเบื้องต้น คือ ข้อความที่เรายอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์และข้อความเหล่านั้นก็เป็นส่วนหนึ่งของเหตุผลในการพิสูจน์ โดยเราใช้หลัก 3 ประการ เพื่อให้เกิดสัจพจน์ คือ

- มีความเชื่อร่วมกันเป็นสมมติฐานโดยใช้ประสบการณ์และความคุ้นเคยจนเป็นค่านิยม เช่นทำดีได้ดี ทำชั่วได้ชั่ว หรือทำดีขึ้นสวรรค์ ทำชั่วลงนรก

- สิ่งเหล่านั้นเป็นจริงโดยตัวมันเอง หรือทุกคนยอมรับว่าเป็นจริง โดยไม่มีข้อโต้แย้งใดๆ มาแย้งได้เลย เช่น คนทุกคนต้องตาย

- เป็นความจริงที่ทุกคนต้องยอมรับเพื่อความสะดวกสบายต่อความเป็นอยู่ในสังคม เช่น กฎหมาย กติกามรรยาททางสังคม ศีล 5 เป็นต้น

เราจึงพูดได้ว่า ความเชื่อหรือหลักการที่ยึดถือร่วมกันดังกล่าว แบ่งเป็น 3 แบบ คือ

1. สมมติฐาน(Hypothesis) เป็นความเชื่อโดยสามัญสำนึก เกิดจากการคาดคะเน

2. สัจพจน์(Axiom or postulate) เป็นความเชื่อที่เป็นจริงโดยตัวมันเอง

3. กติกาหรือข้อตกลง(Law) เป็นสิ่งที่ทุกคนยอมรับเพื่อความเป็นหนึ่งเดียว ความตรงกัน

4. ทฤษฎีบท(Theorem) คือ ข้อความต่างๆ ที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง โดยการพิสูจน์จะต้องนำข้อความที่เป็นจริงมาอ้างอิงและสรุปโดยการใช้กระบวนการให้เหตุผล ทำให้ข้อความเหล่านั้นเป็นจริงขึ้นมา โดยสามารถอ้างอิงจาก คำนิยามหรืออนิยาม หรือข้อตกลงเบื้องต้น หรือทฤษฎีบทที่มีมาแล้วก็ได้ ระดับของทฤษฎีบทมี 2 ระดับ คือ

1. ทฤษฎีบทระดับต้น คือ ทฤษฎีบทที่ใช้คำอนิยาม หรือคำนิยาม หรือข้อตกลงเบื้องต้นเท่านั้น สำหรับนำมาใช้

อ้างอิงในการพิสูจน์

2. ทฤษฎีบทระดับธรรมดา คือ ทฤษฎีบทที่ใช้คำอนิยาม หรือคำนิยาม หรือข้อตกลงเบื้องต้น และทฤษฎีบทที่พิสูจน์

มาแล้วมาผสมกันใช้อ้างอิงในการพิสูจน์

โครงสร้างทางคณิตศาสตร์

การให้เหตุผลทางเรขาคณิต

การให้เหตุผลทางเรขาคณิต เป็นการนำคำอนิยาม บทนิยาม สัจพจน์และทฤษฎีบททางวิชาเรขาคณิต มาใช้พิจสูจน์ข้อคาดการณ์ หรือ สมมติฐาน ต่างๆ

สัจพจน์ทางเรขาคณิตที่ควรรู้

รูปเรขาคณิตทั้งหลายย่อมเคลื่อนที่ได้
มีเส้นตรงเส้นเดียวเท่านั้นที่ลากจากจุดที่กำหนดให้ 2 จุดได้
ปลายทั้งสองของเส้นตรงอาจถูกตอออกไปได้ไม่จำกัดความยาว
เส้นตรงทั้งหลายที่ลากต่อระหว่างจุดสองจุดใดๆ ส่วนของเส้นตรงย่อมสั้นที่สุด
เมื่อกำหนดจุดศูนย์กลางและส่วนของเส้นตรงเป็นรัศมีสามารถสร้างวงกลมได้เพียงวงเดียวเท่านั้น
เส้นตรงสองเส้นตัดกันเพียงจุดเดียวเท่านั้น
ส่วนของเส้นตรงเส้นหนึ่งมีจุดกึ่งกลางได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น
มุมๆ หนึ่ง ย่อมมีเส้นตรงแบ่งครึ่งมุมได้เพียงเส้นเดียว
มุมฉากทุกมุม มุมตรงทุกมุมมีขนาดเท่ากัน
เมื่อกำหนดจุดบนเส้นตรงให้จะลากเส้นตั้งฉากกับเส้นตรงที่จุดนั้นได้เพียงเส้นเดียว
เส้นที่ลากจากจุดภายนอกมายังเส้นตรงเส้นหนึ่ง เส้นตั้งฉากย่อมสั้นที่สุด
มุมรอบจุดๆ หนึ่งรวมกันจะเท่ากับสองเท่าของมุมตรงหรือสี่เท่าของมุมฉาก
รัศมีของวงกลมเดียวกันหรือวงกลมที่เท่ากันจะมีขนาดเท่ากัน
เส้นตรงเส้นหนึ่งจะตัดวงกลมได้ 2 จุด เส้นตรงนี้เรียกว่า เส้นตัด(secant)
เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของขนาดของมุมภายในข้างเดียวกันของเส้นตัดเป็น

ทฤษฎีบททางเรขาคณิตที่ควรรู้

ทฤษฎีบทที่ 1 ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน
ทฤษฎีบทที่ 2 เมื่อ เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกันก็ต่อเมื่อขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของ เส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา

ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่งเส้นตรงคู่นั้นขนานกันก็ต่อเมื่อมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 4 เมื่อ เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกันก็ต่อเมื่อมุมภายนอกและมุมภายในที่ยู่ตรงข้ามบนข้าง เดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 5 ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา

ทฤษฎีบทที่ 6 ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น

ลิงค์ดาวโหลดเอกสารฟรีได้ที่ ติวเตอร์ดีดี Library คลิก!

ติวเตอร์ดีดี แอทโฮม รับสอนพิเศษตามบ้าน ทุกวิชา ทุกระดับ ชั้น

<<ต้องการเรียนพิเศษ คลิก!>>